Physique & Chimie au lycée

Cours de physique-chimie pour les classes de 1ère et Terminale

Sommaire
SP-1 ES-1
SP-T ES-T
3e SNT
Divers Annales

Logarithmes & exponentielles

Voici deux familles de fonctions qui ont une très grande importance en physique et en chimie.

Les fonctions exponentielles

Une fonction exponentielle a pour expression $*f(x) = a^x*$ avec $*a \in \mathbb{R}_+*$.

Les fonctions exponentielles sont :

  • continues, dérivables, strictement monotones et strictement positives sur tout $*\mathbb{R}*$
  • donc bijectives de $*\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}_+^{*} *$
  • Décroissantes si $*0 \lt a \lt 1*$
  • Croissantes si $* a \gt 1*$ (ce qui sera toujours le cas en physique).

Le cas $*a*$ = 1 est inintéressant, puisque ça donne la fonction constante $*f(x) = 1*$

Voici leur allure :

Quelques fonctions exponentielles

Deux exponentielles nous intéressent en physique et en chimique, l’exponentielle de base 10 et l’exponentielle de base $*\mathrm{e}*$.

Quelques propriétés

• $*a^x·a^y = a^{x+y}*$ (ça vous le saviez déjà)

• $*a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a(b)*$ (très utile pour résoudre une équation)

• $*a^x = a^y \Leftrightarrow x = y*$ (très utile pour résoudre une équation)

• $*(a^x)’ = \ln(a)·a^x*$ ($*(a^x)’*$ est la dérivée de $*a^x*$)

Fonction réciproque

La fonction réciproque de $*a^x*$ est $*\log_a (x)*$ de sorte que $*\log_a (a^x) = a^{\log_a (x)} = x*$.

Les fonctions logarithme

Comme je l’ai dit dans le paragraphe précédent, les fonctions logartihmes sont les fonctions réciproques des fonctions exponentielles. Donc il faudrait, si on voulait toujours être rigoureux, préciser la base $*a*$ du logartihme. Mais on fonctionne souvent, en physique du moins, par sous entendu. J’y reviens un peu plus tard.

Les fonctions logarithme sont :

  • continues, dérivables et strictement monotones sur tout $*\mathbb{R}_+^* *$
  • donc bijectives de $*\mathbb{R}_+^* \mapsto \mathbb{R}*$
  • Décroissantes si leur base $*a*$ est telle que $*0 \lt a \lt 1*$
  • Croissantes si leur base $*a*$ est telle que $* a \gt 1*$ (ce qui sera toujours le cas en physique).
Allure des logarithmes de base $*a \gt 1*$

La fonction logarithme népérien

Elle est définie comme étant la primitive de la fonction $*\frac 1x*$ valant 0 pour $*x*$ = 1. Elle est notée $*\ln(x)*$. Sa réciproque est la fonction exponentielle de base $*\mathrm{e}*$, notée $*e^x*$ ou encore $*\exp(x)*$ ou $*\mathrm{e}*$ est un nombre irrationnel dont la valeur approchée est 2,71828.

La fonction logarithme décimale

Très utilisée en physique, c’est la réciproque de $*10^x*$. On devrait l’écrire $*\log_{10}(x)*$ mais on la note souvent $*\log(x)*$ tout simplement.
Si vous faites de la physique et de l’informatique, ça peut prêter à confusion, car les informaticiens – tout binaires qu’ils sont 😊 – utilisent cette notation pour parler de la fonction $*\log_2(x)*$.

Quelques propriétés

La notation $*\log_a(x)*$ désigne ici une fonction logarithme de base quelconque.

• $*\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)*$

• $*\log_a(x^y) = y\log_a(x)*$

• $*\log_a(\frac xy) = \log_a(x) - \log_a(y)*$

• $*\log_a(x) = b \Leftrightarrow x = a^b *$ (très utile pour résoudre une équation)

• $*\log_a(x) = \log_a(y) \Leftrightarrow x = y*$ (très utile pour résoudre une équation)

• $*(\log_a(x))’ = \dfrac 1{x\ln(a)}*$ ($*(\log_a(x))’*$ est la dérivée de $*\log_a(x)*$)