Physique & Chimie au lycée

Cours de physique-chimie pour les classes de 1ère et Terminale

Sommaire
SP-1 ES-1
SP-T ES-T
3e SNT
Divers Annales

3.1 La forme de la Terre

La Terre est ronde ! Comment l’a-t-on découvert ? Comment se répérer sur la Terre ?

Sphéricité de la Terre

  • Calculer la longueur du méridien terrestre par la méthode d’Ératosthène.
  • Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain.
  • Calculer le rayon de la Terre à partir de la longueur du méridien.

Apparition de l’idée de sphéricité

L’idée d’une Terre sphérique est apparue vers 500 av. J.-C. Elle est attribuée à Pythagore. Elle est définitivement admise par les lettrés grecs vers 300 av. J.-C. grâce aux arguments proposés par Artistote :

  • Lors d’une eclipse de Lune, l’ombre de la Terre sur la Lune a une forme circulaire.
  • L’aspect du ciel change lorsqu’on se déplace vers le Nord et vers le Sud : certaines étoiles apparaissent et d’autres disparaissent.
  • Il pense que la Terre s’est formée par agglomération de ces composants sous l’effet « d’une tendance naturelle des objets à se diriger vers un point central ». Donc, pour des raisons de symétrie et d’équilibre, elle ne peut être que sphérique.
Pythagore (580-495 av. J.C.)

Mesure du rayon de la Terre par Ératosthène

Ératosthène de Cyrène (273–192 av. J.-C.) découvre que l’angle que font les rayons du Soleil avec la surface du sol, lorsque celui-ci est à son zénith (position la plus haute dans le ciel), pour une date donnée, dépend de la latitude de l’endroit où l’on se trouve.

Comme il savait que le Soleil est très éloigné de la Terre (et donc que ses rayons arrivent sur Terre parallèle entre eux) il en conclut que la Terre est forcément ronde, et est capable de calculer son diamètre.

Figure 1 : hypothèse de la Terre plate. Les rayons forment tous un même angle $*\alpha*$ avec le sol.
Figure 2 : hypothèse de la Terre sphérique. L’angle que forme les rayons du Soleil avec le sol dépend de la latitude.

La méthode d’Ératosthène

Ératosthène disposait des données suivantes, trouvées dans la bibliothèque d’Alexandrie ou déduites de ses observations et de mesures :

• À Syène, le jour du solstice d’été à midi, les rayons du Soleil arrivent sur la Terre parfaitement à la verticale
• Dans les mêmes conditions à Alexandrie, les rayons du soleil forment un angle de 7,2° avec la verticale.
• Alexandrie est à 800 km parfaitement au nord de Syène.

Voici la situation schématisée :

Longueur d’un arc de cercle

$* \ell = \theta R*$ si $* \theta *$ est exprimé en radian

Ératosthène connaissait donc la longueur de l’arc de cercle séparant Alexandrie de Syène et l’angle entre les deux rayons qui passent par ces villes.

• $*L*$ = 800 km
• $*\alpha*$ = 7,2° ≃ 0,126 radian

Il a donc pu déterminer le rayon de la Terre avec une bonne précision, en utilisant la formule $*L = \alpha ·r*$ :

$*r = L/ \alpha *$ = 800 / 0,126 ≃ 6370 km

Remarque : en fait, les valeurs dont disposait Ératosthène n’étaient pas aussi précises que celle qu’on a utilisées ici. Il est arrivé à un rayon de la Terre de 6260 km au lieu de 6370. Ce qui fait tout de même moins de 2 % d’erreur !

Méthode d’Ératosthène, cas général

Que faire si aucun point de référence ne se trouvent sur le tropique ? C’est-à-dire si le Soleil n’est jamais à la verticale d’aucun des points ? Eh bien on peut quand-même y arriver ! 😊

Le 21 juin, au midi solaire, à Belgrade, les rayons du Soleil forment un angle $*\alpha*$ = 21,3° avec la verticale.
Au même moment de l’année, à Corfou, située 580 km au Sud, les rayons de Soleil forment un angle $*\beta*$ = 16,1° avec la verticale.

1. Faire un schéma de la situation faisant figurer la Terre, les deux villes, la distance de 580 km et les deux angles $*\alpha*$ et $*\beta*$.

2. Exprimer l’angle formé par le rayon passant par Belgrade et celui passant par Corfou en fonction de $*\alpha*$ et $*\beta*$.

3. Retrouver la valeur du rayon de la Terre (environ 3680 km) grâce à ces données.

Mesure d’un méridien par triangulation

En 1792, Delambre et Méchain ont pour mission de mesurer précisément la longueur d’une portion de méridien (arc de cercle reliant les deux pôles) pour pouvoir en déduire ensuite la longueur totale d’un méridien.

Delambre et Méchain
Mesures de Delambre et Méchain

Pour mesurer la portion de méridien reliant Dunkerque à Barcelone, ils se servent d’une méthode appelée triangulation, qui s’appuie sur la propriété suivante des triangles :

$µ \frac a{\sin \alpha} = \frac b{\sin \beta} = \frac c{\sin \gamma} µ$

Cette relation est valable pour tous les triangles. Ainsi, si on connaît la longueur d’un côté ainsi que la valeur des deux angles qui lui sont associés (par exemple, $*c*$, $*\alpha*$ et $*\beta*$), on peut en déduire les deux autres longueurs du triangle.

On rappelle par ailleurs que la somme des angles d’un triangle mesure 180°.

Mesure par triangulation

À partir du schéma ci-dessous, déterminer la longueur AE.

Se repérer sur une sphère

  • Calculer la longueur d’un arc de méridien et d’un arc de parallèle.
  • Comparer, à l’aide d’un système d’information géographique, les longueurs de différents chemins reliant deux points à la surface de la Terre.

Latitude & longitude

Pour se repérer sur Terre, on la découpe « horizontalement » (du nord au sud) par des cercles parallèles à l’équateur appelés « parallèles ».
On la découpe aussi « verticalement » par des demi-cercles qui joignent le pôle nord et le pôle sud : les méridiens.

On repère un point à la surface de la Terre par deux coordonnées angulaires (c’est-à-dire que ces coordonnées sont des angles), sa latitude et sa longitude. Ces deux coordonnées sont définies à partir de deux références : l’équateur pour la latitude et le méridien de Greenwich pour la longitude.

Latitude & longitude d’un point sur Terre

Latitude d’un lieu X : angle entre le rayon passant par X (en rouge) et le rayon passant par l’équateur au même méridien (en vert).

Longitude d’un lieu X : angle entre le rayon passant par l’intersection du méridien où se trouve X et l’équateur (en vert) et le rayon passant par le méridien de Greenwitch et l’équateur (en orange).

Distance entre deux points à la surface de la Terre

Arc de parallèle

À la latitude $*\theta*$ correspondant au cercle vert sur la figure ci-dessous, faire le tour de la Terre est plus court qu’au niveau de l’équateur.
En effet, le rayon $*R_L*$ de ce cercle est plus petit que le rayon de la Terre $*R_T*$.

Un petit peu de géométrie de niveau collège permet de montrer que $*R_L = R_T·\cos \theta*$ ou encore $*R_L = R_T·\sin (90 - \theta)*$

Le tour du monde du Vendée Globe

Arc de parallèle

Coordonnées de Belgrade : 44,8° N ; 20,5° E
Coordonnées de Bordeaux : 44,8° N ; 0,6° O

1. Calculer l’arc de parallèle entre Belgrade et Bordeaux.

2. Même question pour Oslo (60°N, 10°E) et St Petersbourg (60°N, 30°E).

Distance entre deux points à la surface de la Terre

Le plus court chemin entre deux points A et B à la surface de la Terre est l’arc du grand cercle qui les relie. Autrement dit, l’arc du cercle ayant pour centre le centre de la Terre et sur lequel se trouvent les deux points (en bleu).

Plus courte distance entre A et B en bleu

Vol Londres – New York

Expliquer pourquoi, lors d’un vol Londre – New York, l’avion suit la trajectoire en bleue et non la trajectoire en rouge sur l’image ci-dessous.

Révision & entraînement

La sphéricité de la Terre (E3C)

Dans tout l’exercice, la Terre est assimilée à une sphère de rayon 6371 km.

1. Repérage sur la sphère terrestre

Afin de se repérer à la surface de la sphère terrestre, on utilise des coordonnées géographiques (longitude, latitude).

Ville Pays Longitude Latitude
Libreville Gabon 9° Est
Quito Équateur 79° Ouest
Toronto Canada 79° Ouest 44° Nord
Toulouse France 1° Est 44° Nord

1. Calculer la longueur d’un méridien terrestre.

À partir des informations du tableau ci-dessus :
2.a. Indiquer les villes qui sont situées sur un même méridien.
2.b. Indiquer les villes qui sont situées sur un même parallèle.

On note O le centre de la Terre et T, Q et T’ les villes Toronto, Quito et Toulouse. On note I le centre du parallèle passant par Toronto et Toulouse. Sur le schéma ci-dessous (figure 1a) représentant la sphère terrestre, on a placé les points O, I, Q, T et T’.

Représentations graphiques permettant un repérage spatial sur la sphère

3.a Donner la mesure, en degré, des angles QOT et TIT’.
3.b Calculer la longueur de la portion de méridien reliant Quito à Toronto.

À l’aide de la figure 1b :
4.a. Préciser la longueur OT puis calculer la longueur IT.
4.b. En déduire la longueur du parallèle passant par Toulouse et Toronto.
4.c. Justifier, par un calcul, que la longueur de la portion de parallèle reliant Toulouse à Toronto est environ égale à 6399 km.

5. Un système d’information géographique (SIG) donne les informations suivantes :
  • Distance Quito - Toronto : 4891 km
  • Distance Toulouse - Toronto : 6230 km

Pour un système d’information géographique, la distance entre deux points du globe est le plus court chemin qui les relie à la surface de la Terre.

Expliquer pourquoi les longueurs données par le SIG et celles calculées dans les questions 3 et 4 sont, dans un cas, très proches alors que, dans l’autre, elles ne le sont pas.

2. les différents climats de la Terre

Les zones climatiques à la surface de la Terre

Sur cette carte, on constate que Quito et Libreville, qui sont à la même latitude, sont dans une zone chaude intertropicale. Pour Toronto, situé à la même longitude que Quito, la température moyenne annuelle est plus froide.

Afin d’expliquer ces différences climatiques, un élève a proposé comme hypothèse :

« Il fait plus chaud à l’équateur qu’aux pôles parce que La Terre est plus proche du Soleil à l’équateur qu’aux pôles ».

6. À partir des connaissances acquises et des informations issues des documents ci-dessous, rédiger un paragraphe argumenté permettant à la fois d’expliquer qu’il fait plus chaud à l’équateur qu’aux pôles et d’invalider l’hypothèse émise par cet élève.
La justification des arguments pourra s’appuyer sur des schémas explicatifs.

Puissance solaire reçue en fonction de la distance au Soleil

Remarque : 1 unité astronomique (ua) = 1,5×108 km

Résultat observé pour un même éclairage de l’équateur (à gauche) et des pôles (à droite)
Latitude45° nord60° nord89° nord
Lieu correspondant à la latitudeQuitoBordeauxOsloPôle nord
Surface recevant une même quantité d’énergie (m2)11,4257
Puissance solaire reçue en moyenne par unité de surface (W/m2)420420÷1,4 = 300420÷2 = 210420÷57 = 7,36
Puissance solaire reçue par unité de surface en fonction de la latitude

New York – Pékin en avion (E3C)

Cet exercice a été donné en devoir en 2020/2021

Les constructeurs d’avions ayant fait de grandes améliorations en matière de sécurité sur leurs biréacteurs, les autorités américaines de l’aviation civile ont revu fin décembre 2011 la réglementation sur ces avions, en les autorisant à voler au-dessus du Pôle Nord.

Ce sujet étudie les durées de vol sur le trajet New York-Pékin en fonction de deux trajectoires possibles : soit le long du 40e parallèle, soit en passant par le Pôle Nord.

Document 1 : deux planisphères – deux représentations de la Terre

Figure 1a – Représentation de la Terre en projection cylindrique
Figure 1b – Représentation de la Terre en projection polaire

Document 2 : représentation de la Terre pour l’étude du trajet en passant par le Pôle Nord

Calcul de la longueur d’un méridien

1. Le rayon de la Terre est de $*R_T*$ = 6380 km. Quelle est la longueur d’un méridien ?

Trajet New York – Pékin en suivant le 40e parallèle

Jusqu’au début des années 2010, la liaison aérienne New York – Pékin à bord d’avions biréacteurs suivait une route relativement proche de la ligne du 40e parallèle.

2. Tracer, sur la figure 1b, un des deux arcs de parallèle qui relie New York à Pékin.

3. D’après le document 1 – figure 1a, indiquer les coordonnées terrestres (latitude, longitude) de chacune des villes de New York et de Pékin. Il est attendu des coordonnées entières.

4. En utilisant les coordonnées de New York et de Pékin, montrer que chacun des arcs de parallèle reliant New-York à Pékin est un demi-cercle.

5. Calculer la distance New York – Pékin le long du 40e parallèle.

Trajet New York – Pékin en passant par le Pôle Nord

Depuis décembre 2011, les avions biréacteurs peuvent survoler le pôle Nord.

6. Tracer, sur la figure 1b, la route que les avions biréacteurs sont autorisés à emprunter entre New York et Pékin en passant par le Pôle Nord.

7. Montrer que la distance New York – Pékin par la route polaire mesure environ 11 100 km.

Correction

1. Méridien = demi-cercle de pôle à pôle. Longueur d’un méridien = $*\pi R_T*$ ≃ 20.000 km

2. Arc de parallèle : un des deux demi-cercles en bleu

3. Pékin : 40°N – 105°E et New-York : 40°N – 75°O

4. La différence de longitude entre les deux villes est de 180°, mais elles se situent à la même lattitude. Les arcs de parallèle qui les relient sont donc des demi-cercles.

5. Diamètre du 40e parallèle : il faut d’abord calculer son rayon. $*R*$ = *$R_T·cos(40°)*$ ≃ 4890 km.
Donc la longueur du parallèle reliant Pékin à New York est : 4890×π = 15350 km.

6. Voir schéma

7. En passant par le pôle nord, on parcourt un arc de cercle dont le rayon est égal au rayon de la Terre et dont l’angle vaut $*\theta*$ = 2×(90-40) = 100°.
La longueur de cet arc de cercle vaut $*\ell*$ = *$R_Tθ*$ = 11.135 km soit environ 11.100 km.