4.2 La musique & les nombres
La musique est un arrangement de notes produites successivement et/ou simultanément selon un certain rythme. La structure de la musique est hautement mathématique. Dans ce chapitre, on va s’intéresser à quelques uns de ces aspects.
Intervalles entre deux notes
Une note est un son de fréquence constante. Pour produire une mélodie ou une harmonie, il faut associer des notes ayant entre elles des intervalles de fréquence harmonieux.
Les notes ont des noms. Dans le système « latin » (qui date du XIIe siècle), il s’agit de Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si.
Dans le système « anglo-allemand », qui est plus ancien, les notes sont désignées par des lettres : A est un La, B est un Si, et ainsi de suite jusqu’à G qui est un sol.
Intervalle
En musique, un intervalle entre deux notes est défini par le rapport (et non la différence) de leurs fréquences.
Intervalle de l’octave
Deux notes dont les fréquences sont dans le rapport 2/1 correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes. L’intervalle qui les sépare s’appelle une octave.
Vous venez de le comprendre (en tout cas je l’espère 😊) : il y a plusieurs La. Pour s’y retrouver, on numérote les différentes notes ayant le même nom. Le La à 220 Hz est appelé La2, et celui à 440 Hz est appelé La3.
Intervalle de la quinte
Une quinte est un intervalle entre deux fréquences de rapport 3/2. Par exemple, la quinte du La2 à 220 Hz a une fréquence de 330 Hz.
Gamme
Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.
Dans l’Antiquité, la construction des gammes était basée sur des fractions simples, (2/1, 3/2, 4/3, etc.). En effet, des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples sont consonants (c’est-à-dire harmonieux, agréable à l’oreille).
Intervalle entre deux notes
Par convention, la fréquence de la note appelée La3 est de 440 Hz.
1. Donner la fréquence du La4 et du La2.
2. Donner la fréquence du Mi4, qui est la quinte du La3, puis du Si4 qui est la quinte du Mi4.
Correction
1. Le La4 est la note située à l’octave du La3, donc sa fréquence est le double (880 Hz).
Le La2 est situé à l’octave en-dessous, donc sa fréquence est deux fois plus petite (220 Hz).
2. La fréquence de la quinte d’une note donnée est 1,5 fois plus grande que celle de cette note. Donc la fréquence du Mi4 est de 660 Hz.
La fréquence du Si4 est de 990 Hz.
La gamme de Pythagore
- Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes.
- Mettre en place un raisonnement mathématique pour prouver que le cycle des quintes est infini.
Pythagore, bien connu pour ses apports aux mathématiques et à la philosophie, a aussi travaillé sur la musique.
Construction
Il s’est posé le problème de la construction d’une gamme dont voici la formulation :
Il est parti des intervalles de l’octave et de la quinte, qui sont particulièrement consonnants, pour construire un gamme qui porte son nom. Cette gamme est définie à partir du cycle des quintes.
La gamme de Pythagore
- On part d’une première note, appelée note fondamentale, de fréquence $*f*$
- La 2e note de la gamme de Pythagore est la quinte, de fréquence 1,5$*f*$.
- La 3e note est la quinte de la 2e. Sa fréquence est de 2,25$*f*$.
mais cette fréquence se situe au-delà de l’octave de la 1e note. Il faut donc prendre cette même note, mais à l’octave inférieure pour qu’elle soit incluse dans l’intervalle de fréquence dans lequel on construit notre gamme, à savoir entre $*f*$ inclus et 2$*f*$ exclu.
Cette 3e note a donc pour fréquence 1,125$*f*$. - Pour la 4e note… Eh bien c’est le même principe.
Activité : construction de la gamme de Pythagore
Objectif : construire mathématiquement la gamme de Pythagore à l’aide d’un tableur. Constater qu’elle ne semble jamais boucler.
Calcul de la fréquence des 12 premières quintes
• Dans la case A1 d’un fichier d’un tableur, entrez la valeur « 1 ». Cette valeur représente la fréquence de la note fondamentale.
• Dans la case A2, calculer la fréquence de la première quinte.
• Dans la case A3, calculer la fréquence de la deuxième quinte, en tenant compte du fait qu’elle doit être ramenée à l’intervalle de fréquence [1 ; 2[
• Proposer une formule qui va automatiser le calcul, en utilisant la fonction SI() du tableur.
• Poursuivre jusqu’à avoir calculé la fréquence de la 11e quinte (c’est-à-dire de la 12e note en comptant la fondamentale).
Question : la gamme de Pythagore boucle-t-elle au bout de 12 notes ? C’est-à-dire, parmi les valeurs calculées, est-on retombé, à un moment, sur la valeur 1 (ou 2) ?
Essayez de la boucler 😊
• Vérifiez que la gamme ne boucle pas, même après 100 notes.
Question : pour quelle note la gamme de Pythagore boucle-t-elle presque ?
Remarque : on démontrera par la suite que cette gamme ne boucle jamais.
La gamme de Pythagore ne boucle jamais
On peut démontrer ceci mathématiquement.
✋ Vous devez savoir refaire cette démonstration matémathique !
Démonstration
• Soit $*f*$ la fréquence de la note fondamentale.
• La fréquence de la $*k*$ième quinte est égale à $*(\frac 32)^k×f*$
• La fréquence de la $*n*$ième octave est égale à $*2^n×f*$
Pour que le cycle des quintes boucle, il faut que, à un certain rang, la fréquence d’une quinte corresponde à la fréquence d’une octave.
Traduit mathématiquement, cela veut dire qu’il doit exister $*k*$ et $*n*$ entiers tels que :
$µ \left( \frac 32 \right)^k×f = 2^n µ$
Et donc que $*3^k = 2^n×2^k = 2^{n+k}*$.
• Or $*3^k*$ est forcément impair et $*2^{n+k}*$ est forcément pair.
• Donc il n’existe pas de nombres entiers $*k*$ et $*n*$ tels que $*(\frac 32)^k×f = 2^n*$.
On a démontré que le cycle des quintes ne bouclait jamais.
Cependant, les cycles de 5, 7 ou 12 quintes bouclent presque. C’est-à-dire que leur fréquence est proche de celle de la fondamentale ou de l’octave de la fondamentale.
| Rang de la note | Fréquence |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1,5 |
| 2 | 1,125 |
| 3 | 1,688 |
| 4 | 1,266 |
| 5 | 1,898 |
| 6 | 1,424 |
| 7 | 1,068 |
| 8 | 1,602 |
| 9 | 1,201 |
| 10 | 1,802 |
| 11 | 1,352 |
| 12 | 1,014 |
Ceci explique l’utilisation de gammes à :
- 5 notes, dite gamme pentatonique – do, mi, fa, sol et si (blues, rock, musique chinoise).
- 7 notes, dite gamme diatonique – do, ré, mi, fa, sol, la et si.
- 12 notes, dite gamme chromatique – do, do#, ré, ré#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la# et si.
Pour les gammes associées, l’identification de la dernière note avec la première impose que l’une des quintes du cycle ne corresponde pas exactement à la fréquence 3/2
Par exemple, pour la gamme pentatonique, on impose que la quinte de la 5e note ait une fréquence de 2$*f*$ au lieu de 1,898$*f*$, pour boucler la gamme. Ceci va parfois imposer une certaine dissonnance. C’est pourquoi il y a bien longtemps que la gamme de Pythagore n’est plus utilisée.
Démonstrations
1. Démontrer que $*3^k*$, avec $*k*$ entier naturel, est toujours impair.
2. Démontrer que $*2^n*$, avec $*n*$ entier naturel, est toujours pair.
3. Refaites, sans vous aider du cours, la démonstration mathématique que le cycle des quintes de Pythagore ne boucle jamais.
Correction
1. On part du fait qu’un nombre impair multiplié par un nombre impair donne un nombre impaire.
Si $*3^k*$ est impair, alors $*3^k×3*$ = $*3^{k+1}*$ est impaire.
Donc Si $*3^k*$ est impair cela implique que $*3^{k+1}*$ lui aussi impair.
Or $*3*$ est impair, donc $*3^2*$ est impair, et donc $*3^2×3*$ est impair aussi, ainsi de suite.
2. $*2^n = 2^{n-1}×2*$. Donc $*2^n*$ est divisible par deux. Il est donc paire.
3. Voir cours.
Transposition
En musique, la transposition d’une mélodie consiste à jouer une mélodie donnée en la décalant toujours du même « nombre de notes » vers le haut ou vers le bas.
Les intervalles entre deux notes consécutives des gammes de Pythagore n’étant pas égaux, cela entrave la transposition. Voir l’exercice ci-dessous.
Transposition et gamme de Pythagore
1. Compléter la première colonne du tableau ci-dessous avec les fréquences des notes manquantes en utilisant le cycle des quintes de Pythagore. On arrondira les fréquences au 1000e.
| Note | Fréquence | Écart |
|---|---|---|
| do | 1 | – |
| do# | 1,068 | 1,068 |
| ré | 1,125 | 1,053 |
| ré# | ||
| mi | ||
| fa | ||
| fa# | ||
| sol | ||
| sol# | ||
| la | ||
| la# | ||
| si | ||
| do | 2 |
2. Calculer les écarts relatifs de fréquence entre une note et la note précédente pour chacune des notes. Commenter la phrase du cours « Les intervalles entre deux notes consécutives des gammes de Pythagore ne sont pas égaux ».
Correction
| Note | Fréquence | Écart |
|---|---|---|
| do | 1 | – |
| do# | 1,068 | 1,068 |
| ré | 1,125 | 1,053 |
| ré# | 1,201 | 1,068 |
| mi | 1,266 | 1,054 |
| fa | 1,352 | 1,068 |
| fa# | 1,424 | 1,053 |
| sol | 1,5 | 1,053 |
| sol# | 1,602 | 1,068 |
| la | 1,688 | 1,054 |
| la# | 1,802 | 1,068 |
| si | 1,898 | 1,054 |
| do | 2 | 1,054 |
On constate qu’entre deux notes consécutives, il peut y avoir un intervalle de 1,053–1,054 (qu’on peut considérer comme égaux), ou bien un intervalle de 1,068
La gamme tempérée
- Utiliser la racine douzième de 2 pour partager l’octave en douze intervalles égaux.
Au XVIIe siècle, la gamme tempérée (ou gamme à tempéraments égaux) a été créée pour permettre des transpositions sans problème.
Le principe de cette gamme est que, pour obtenir la fréquence d’une note située un demi-ton au-dessus d’une note de référence, il faut multiplier la fréquence de la note de référence par un nombre $*q*$ qui est toujours le même quelque soit la note de référence (contrairement à la gamme de Pythagore).
Ainsi, si l’on répète 12 fois l’opération, on doit tomber sur la note à l’octave par rapport à la note de référence. Ce qui se traduit par : $µ 2×f = q^{12}×f µ$ Donc $* q = \sqrt[12]{2} \simeq 1,0595*$.
La fréquence d’un note située un demi-ton au-dessus d’une note de référence est environ 5,95 % plus grande.
Cette gamme n’est pas dépourvue de défaut : les écarts de fréquence font qu’aucune note n’est parfaitement juste (voir exercice ci-dessous).
Construction de la gamme tempérée
1. Compléter le tableau de fréquence ci-dessous pour la gamme tempérée (arrondir au 1000e).
| Note | Pythagore | Tempérée |
|---|---|---|
| do | 1 | 1 |
| do# | 1,068 | |
| ré | 1,125 | |
| ré# | 1,201 | |
| mi | 1,266 | |
| fa | 1,352 | |
| fa# | 1,424 | |
| sol | 1,500 | |
| sol# | 1,602 | |
| la | 1,688 | |
| la# | 1,802 | |
| si | 1,898 | |
| do | 2 | 2 |
2. La fréquence de la quinte juste vaut 1,5 fois celle de la fondamentale. Que constate-t-on pour la quinte de la gamme tempérée ?
Correction
1. Fréquences des notes de la gamme tempérée
| Note | Pythagore | Tempérée |
|---|---|---|
| do | 1 | 1 |
| do# | 1,068 | 1,059 |
| ré | 1,125 | 1,122 |
| ré# | 1,201 | 1,189 |
| mi | 1,266 | 1,260 |
| fa | 1,352 | 1,335 |
| fa# | 1,424 | 1,414 |
| sol | 1,500 | 1,498 |
| sol# | 1,602 | 1,587 |
| la | 1,688 | 1,682 |
| la# | 1,802 | 1,782 |
| si | 1,898 | 1,888 |
| do | 2 | 2 |
2. On constate que la quinte n’est pas tout à fait juste (1,489 au lieu de 1,5). Mais l’écart est très faible.