P5. Énergie mécanique

• Utiliser l’expression de l’énergie cinétique d’un système modélisé par un point matériel.
• Établir et utiliser l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur pour un système au voisinage de la surface de la Terre.

Énergie cinétique

Un objet en mouvement possède une énergie liée à sa vitesse, appelée énergie cinétique.

Rappelez-vous que la vitesse d’un objet ou d’un système dépend du référentiel dans lequel on étudie son mouvement. Donc l’énergie cinétique d’un objet dépend elle-aussi du référentiel d’étude.

Cette expression suppose que le système est assimilé à un point et donc que l’on néglige toute énergie cinétique du système due à la rotation du système sur lui-même.

Énergies potentielles

Il existe plusieurs types d’énergies potentielles : l’énergie potentielle de pesanteur, l’énergie potentielle élastique (accumulée par un ressort tendu, par exemple), l’énergie potentielle électrique (acquise par une particule chargée dans un champ électrique). Nous allons seulement étudier l’énergie potentielle de pesanteur.

Énergie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur d’un système est l’énergie liée à la position de ce système dans un champ de pesanteur. Vous n’aurez aucune difficulté à comprendre intuitivement qu’un rocher au sommet d’une montagne possède plus d’énergie potentielle qu’un rocher dans une plaine, car il peut potentiellement tomber (et provoquer des dégâts), ce qui ne peut pas arriver au rocher dans la plaine.

L’altitude d’un objet est définie par rapport à une origine des altitudes arbitraires. L’$*E_{pp}*$ dépend donc de ce choix de l’origine des altitudes.

On se placera toujours dans une situation où on peut considérer l’intensité du champ de pesanteur $*g*$ comme constante, c’est-à-dire sur domaine de variation d’altitude « petit » par rapport au rayon de la Terre (au maximum quelques kilomètres – ce qui laisse quand-même une marge importante. 😊).

Énergie mécanique

Comme je l’ai dit dans l’introduction du chapitre, l’énergie mécanique d’un système, c’est la somme de son énergie cinétique et de ses différentes énergies potentielles.

• Utiliser l’expression du travail $*W_{\mathrm{AB}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{\mathrm{AB}}*$ dans le cas de forces constantes.
• Calculer le travail d’une force de frottement d’intensité constante dans le cas d’une trajectoire rectiligne.
• Capacité mathématique : utiliser le produit scalaire de deux vecteurs.

Le travail d’une force correspond à de l’énergie communiquée à un système par cette force au cours d’un déplacement.

Pour une force constante et au cours d’un déplacement rectiligne, ce travail se calcule par la relation :

Si le travail d’une force est positif, on dit qu’il est moteur : la force favorise le déplacement du système.

S’il est négatif, on dit qu’il est résistant.

Remarque de math : le produit scalaire de deux vecteurs $*\vec{u}*$ et $*\vec{v}*$ est noté $*\vec{u}·\vec{v}*$. C’est un nombre (et non pas un vecteur) égal à $* \Vert \vec{u}\Vert·\Vert\vec{v}\Vert·\cos (\widehat{\vec{u};\vec{v}}) *$

Imaginons un système noté M se déplaçant en mouvement rectiligne d’un point A à un point B. Ce système est soumis à quatre forces constantes comme le montre le schéma ci-dessous. Ce système pourrait être votre chien que vous tirez à la laisse et qui résiste. 😊

On va chercher l’expression du travail de ces trois forces au cours de ce déplacement

Pour $*\vec{F_1}*$ : $* W_{\mathrm{AB}}(\vec{F_1})= F_1·\mathrm{AB}·\cos⁡(10°)*$. Ce travail est moteur.

Pour $*\vec{F_2}*$ et $*\vec{F_4}*$  : L’angle entre ces forces et le vecteur déplacement $*\overrightarrow{\mathrm{AB}}*$ vaut 90°, donc le produit scalaire entre ces vecteurs est nul. Ces forces ne travaillent pas.

Pour $*\vec{F_3}*$ : $* W_{\mathrm{AB}}(\vec{F_3})= F_3·\mathrm{AB}·\cos⁡(180°) = -F_3·\mathrm{AB} *$. Ce travail est résistant.

Descente en luge

Un enfant sur une luge glisse sans frottement le long d’une pente rectiligne faisant un angle $*\alpha*$ = 15° avec l’horizontale. Il parcourt une distance $*\mathrm{AB}*$ = 30 m. La masse de l’ensemble {enfant + luge} vaut $*m*$ = 50 kg.
On prendra comme valeur de l’intensité de la pesanteur $*g*$ = 10 N·kg^-1.

1. Schématiser la situation en faisant figurer les forces qui s’exercent sur le système.
2. Calculer le travail de chacune de ces forces.

Correction

1. Schéma de la situation

$*\vec{P}*$ est le poids du système (vertical, vers le bas) et $*\vec{R}*$ est la réaction de la piste (perpendiculaire à la piste).

2. Le travail de $*\vec{R}*$ est nul car l’angle entre $*\vec{R}*$ et le vecteur déplacement $*\overrightarrow{\mathrm{AB}}*$ est de 90°.
L’angle entre $*\vec{P}*$ et $*\overrightarrow{\mathrm{AB}}*$ vaut 90 – 15 = 75° donc $*W_{AB}(\vec{P}) = P·\mathrm{AB}·\cos(75°) \simeq*$ 3,8 kJ

• Énoncer et exploiter le théorème de l’énergie cinétique.
• Identifier des situations de conservation et de non conservation de l’énergie mécanique.
• Exploiter la conservation de l’énergie mécanique dans des cas simples : chute libre en l’absence de frottement, oscillations d’un pendule en l’absence de frottement, etc.
• Utiliser la variation de l’énergie mécanique pour déterminer le travail des forces non conservatives.

Forces conservatives et non conservatives

Les forces extérieures qui s’appliquent sur un système peuvent modifier son énergie mécanique et/ou les différentes composantes de son énergie mécanique.

Il faut bien distinguer deux types de forces :

• Les forces conservatives : le travail de ces forces ne fait pas varier l’énergie mécanique du système, elles ne font que transformer l’énergie potentielle en énergie cinétique ou inversement. Ces forces sont associées à une énergie potentielle. Il n’y en a donc pas beaucoup : la seule force conservative que vous devez retenir en 1^e, c’est le poids.
• Les forces non conservatives : ce sont toutes les autres forces. Leur travail, s’il n’est pas nul, peut modifier l’énergie mécanique du système sur lequel elles s’appliquent.

Si le travail d’une force est positif, on dit que la force est motrice (elle favorise le mouvement). Ce travail augmente l’énergie mécanique du système.
À l’inverse, si le travail d’une force est négatif, on dit que la force est résistante (elle s’oppose au mouvement). Ce travail diminue l’énergie mécanique du système.

Travail de forces et énergie mécanique

Par conséquent, si parmi les forces qui s’appliquent sur un système, la seule force ayant un travail non nul est le poids, alors l’énergie mécanique du système se conserve.

Théorème de l’énergie cinétique

Remarque : ce « théorème » est la conséquence des deux paragraphes précédents.

Hauteur atteinte par une balle

Une balle est lancée vers le haut, dans une direction parfaitement verticale, à partir d’une hauteur de 2,0 m et avec une vitesse initiale de 3,0 m·s^-1. Les forces de frottement seront négligées.

Déterminer quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle, et quelle est sa vitesse au moment où elle touche le sol.

Correction

Dans cette situation très classique, il n’y a qu’une seule force qui s’applique sur la balle : son poids. On est donc dans une situation où l’énergie mécanique se conserve.

Notons (1) la situation initiale, (2) la situation où la balle a atteint la hauteur maximale de sa trajectoire et (3) la situation où la balle touche le sol.

L’énergie mécanique se conserve, donc $*E_{M1}*$ = $*E_{M2}*$ = $*E_{M3}*$

Faisons un bilan énergétique dans un tableau :

Grandeur	Situation 1	Situation 2	Situation 3
Vitesse (m·s-1)	$*v_1*$ = 3	$*v_2*$ = 0	$*v_3*$ = ?
Altitude (m)	$*z_1*$ = 2	$*z_2*$ = ?	$*z_3*$ = 0
$*E_C*$ (J)	$*\frac 12 m v_1^2*$	0	$*\frac 12 m v_3^2*$
$*E_{PP}*$ (J)	$*mgz_1*$	$*mgz_2*$	0
$*E_M*$ (J)	$*\frac 12 m v_1^2 + mgz_1*$	$*mgz_2*$	$*\frac 12 m v_3^2*$

En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, on peut calculer $*z_2*$ et $*v_3*$.

Calcul de $*z_2*$ : $µ \begin{aligned} \frac 12 m v_1^2 + mgz_1 &= mgz_2 \\ \frac 12 v_1^2 + gz_1 &= gz_2 \\ z_2 &= \frac {\frac 12 v_1^2 + gz_1}g \end{aligned} µ$

On trouve $*z_2*$ = 2,46 m.

Calcul de $*v_3*$ : $µ \begin{aligned} \frac 12 m v_1^2 + mgz_1 &= \frac 12 m v_3^2 \\ v_1^2 + 2gz_1 &= v_3^2 \\ v_3 &= \sqrt {v_1^2 + 2gz_1} \end{aligned} µ$

On trouve $*v_3*$ = 6,9 m·s^-1.

		# On peut remplacer les variables en dur par des inputs
		
		reponse = "" # détermine le calcul à faire

		vi = 0
		zi = 5
		g = 9.8
			
		if reponse == "a" : # on cherche zf
			vf = 0
			zf = (0.5*vi**2 + g*zi - 0.5*vf**2)/g
			print("zf =",zf,"m")

		elif reponse == "v" : # On cherche vf
			zf = 3
			vf = (vi**2+2*g*zi-2*g*zf)**0.5
			print ("vf =", vf, "m/s")

		else : # on cherche à calculer delta Em
			vf = 5
			zf = 0
			m = 40
			delta_Em = 0.5*m*vf**2 + m*g*zf - (0.5*m*vi**2 + m*g*zi)
			print("Variation d’énergie mécanique :", delta_Em, "J")