Physique & Chimie au lycée

Cours de physique-chimie pour les classes de 1ère et Terminale

Sommaire
SP-1 ES-1
SP-T ES-T
3e SNT
Divers Annales

P8. Circuit RC

Un condensateur est un dipôle capable d’accumuler des charges électriques. Il s’agit d’un constituant élémentaire d’un très grand nombre de circuits électriques ou électroniques (avec la résistance, la bobine, la diode et le transistor). Nous étudierons dans ce chapitre les lois qui régissent son comportement.

Constitution d’un condensateur

  • Relier l’intensité d’un courant électrique au débit de charges.
  • Citer des ordres de grandeur de valeurs de capacités usuelles.
Gardez à l’esprit qu’un courant électrique, c’est un débit de charge (on l’a vu quand on a traité les piles). Dire qu’un dipôle est traversé par un courant de 1 A, c’est dire qu’il est traversé par une charge de 1 C chaque seconde.

Découverte du condensateur

  • Identifier et tester le comportement capacitif d’un dipôle.
  • Illustrer qualitativement, par exemple à l’aide d’un microcontrôleur, d’un multimètre ou d’une carte d’acquisition, l’effet de la géométrie d’un condensateur sur la valeur de sa capacité.

Un condensateur est constituée de deux plaques conductrices l’une en face de l’autre (d’où son symbole), séparées par un isolant. Lorsqu’on connecte une de ces plaques à la borne ⊕ d’un générateur, et l’autre à la borne ⊖, ces plaques vont se charger. Et le fait qu’elles soient proches l’une de l’autre va permettre d’accumuler des charges dans ces plaques (les charges ⊖ d’une plaque et les charges ⊕ de l’autre s’attirent mutuellement).

Symbole d’un condensateur

Un condensateur est caractérisé par sa capacité notée $*C*$. Il s’agit de la constante de proportionnalité liant la tension aux bornes d’un condensateur à la charge qu’il a accumulée sur sa plaque ⊕ (la charge sur la plaque ⊖ étant la même, au signe près).

$*U = \dfrac QC*$ $*U*$ : tension aux bornes du condensateur
$*Q*$ : charge de sa plaque positive (C)
$*C*$ : capacité (en farad, noté F)

Capacité d’un condensateur

On applique une tension de 12 V aux bornes d’un condensateur d’une capacité de 1 µF.

1. Quelle est la charge qu’il a stockée ?

2. Quelle qdm d’électrons cela représente-t-il ?
Charge molaire des électrons : ℱ = 96,5 kC·mol-1.

Circuit RC série

  • Établir et résoudre l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes d’un condensateur dans le cas de sa charge par une source idéale de tension et dans le cas de sa décharge.
  • Capacité mathématique : résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.

Charge d’un condensateur dans un circuit RC

  • Étudier la réponse d’un dispositif modélisé par un dipôle RC.
  • Réaliser un montage électrique pour étudier la charge et la décharge d’un condensateur dans un circuit RC.
  • Utiliser un oscilloscope.
  • Déterminer le temps caractéristique d’un dipôle RC à l’aide d’un microcontrôleur, d’une carte d’acquisition ou d’un oscilloscope.

Un circuit RC série, c’est l’association en série d’un générateur (idéal de tension), d’une résistance et d’un condensateur.

Schéma d’un circuit RC série

Supposons que le condensateur soit au départ complètement déchargé ($*Q*$ = 0). Lorsqu’on ferme le circuit, un courant se met à circuler. Donc la charge du condensateur augmente et donc la tension à ses bornes augmente.

Du même coup, par la loi d’additivité des tensions (dans ce circuit $*E = U_C + U_R*$), la tension aux bornes de la résistance va diminuer et donc, par la loi d’Ohm, on en déduit que l’intensité du courant va également diminuer.

Autrement dit, la vitesse de charge n’est pas constante. Rapide au début, elle va diminuer au cours de la charge jusqu’à ce que le courant ne circule plus – moment où le condensateur est complètement chargé.

Vous devinez qu’il y a de l’équation différentielle là-dessous… 😁

Établissement de l’équation différentielle

Charge et intensité

Considérons que, pendant une durée très brève $*\mathrm{d}t*$, l’intensité ne varie pas. Alors, la charge $*\mathrm{d}Q*$ gagnée par le condensateur vaudra : $*\mathrm{d}Q = I·\mathrm{d}t*$

On obtient donc un premier résultat très important (qui a d’ailleurs une portée plus générale que simplement la charge ou la décharge d’un condensateur) :

$µ I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} µ$

Convention récepteur

Toutes les formules données dans mon cours sous-entendent le choix de la convention « récepteur », c’est-à-dire que le courant est compté positivement lorsqu’il entre dans le condensateur, et négativement quand il en sort.

Il est possible de faire le choix inverse, on est alors dans la convention « générateur ». Dans ce cas, on a $µ I = - \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} µ$

Charge et tension

D’autre part, on a vu que la loi de fonctionnement du condensateur était $*Q = C·U_C*$. On peut donc en déduire une deuxième relation :

$µ I = C·\frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} µ$

Loi d’additivité des tensions

Aux bornes de la résistance, on a (loi d’Ohm) : $*U_R = R·I*$. De plus, la loi d’additivité des tension permet d’écrire que $*E = U_C + U_R*$ comme on l’a déjà vu plus haut.

En utilisant cette relation et en remplaçant $*U_R*$ par ce qu’on a trouvé avant, on obtient l’équation différentielle : $µ \begin{aligned} E &= U_C + U_R \\ E &= U_C + R·I \\ E &= U_C + RC·\frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} \end{aligned} µ$

Voici donc l’équation différentielle qui régit les variations de $*U_C*$ au cours du temps : $µ E = U_C + RC·\frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} µ$ Vous devez savoir refaire ce raisonnement dans un exercice.

Rappel

On a vu que la solution générale de l’équation différentielle $µ f'(x) + af(x) = b µ$ était $µ f(x) = Ke^{-ax} + \frac ba µ$

On ramène la forme de cette équation différentielle à une forme qui nous est familière : $µ \frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} + \frac{U_C}{RC} = \frac{E}{RC} µ$

La solution de cette équation différentielle est : $µ U_C(t) = Ke^{-\frac t{RC}} + E µ$

Si le condensateur est initialement déchargé, on a $*U_C(0) = 0*$ et donc $*K = -E*$. La solution devient : $µ U_C(t) = E·(1-e^{-\frac t{RC}}) µ$

Temps caractéristique de charge

Comme je l’explique dans la partie sur les équations différentielles, la constante $*RC*$ (résistance × capacité) est aussi appelée constante de temps $*\tau*$. Elle s’exprime en seconde (on peut démontrer que ohm × farad = seconde).

On considère généralement par commodité que le condensateur est chargé au bout de $*t = 5·\tau*$.

Tension UC(t) au cours de la charge

L’allure de la courbe représentant la tension $*U_C(t)*$ est la suivante.

Allure de $*U_C(t)*$

On voit que $*U_C(t)*$ tend vers la tension aux bornes du générateur, et que celle-ci augmente de plus en plus faiblement au cours du temps.

Analogie avec un transfert de gaz

Imaginons un récipient dans lequel règne le vide. Celui-ci est raccordé, par l’intermédiaire d’un tuyau mince, à une pompe P capable de maintenir une pression constante $*P_0*$. Un clapet (en rouge) peut être ouvert instantanément sur commande.

Au moment où le clapet est ouvert, le flux de gaz entrant dans le récipient est maximum, car aucune pression interne dans le récipient ne vient s’opposer à son mouvement.

À mesure que le récipient se remplit, la pression interne augmente et s’oppose au flux de gaz envoyé par la pompe. Le récipient se remplit donc de plus en plus lentement.

Lorsque la pression dans le récipient est égale à la pression $*P_0*$, il n’y a plus de flux de gaz. Le récipient est plein.

La vitesse de remplissage du récipient dépend du diamètre du tuyau (plus le tuyau est fin, plus le remplissage sera lent), mais aussi du volume du récipient. On peut montrer, par contre, que le temps au bout duquel le récipient est plein (c’est-à-dire que sa pression interne est égale à la pression $*P_0*$ fournie par la pompe) ne dépend pas de $*P_0*$.

Dans cette analogie, le volume du récipient correspond à la capacité du condensateur, le tuyau correspond à la résistance (plus il est fin, plus la résistance est élevée) et la pompe correspond au générateur.

Constante de temps

Il est commode d’avoir une idée du taux de charge d’un condensateur initialement déchargé et se trouvant dans un circuit RC au bout d’une durée égale au temps caractéristique $*\tau*$.

Caculer ce taux de charge (pourcentage de charge par rapport à la charge complète) pour un temps $*t = \tau = RC*$.

Charge d’un condensateur dans un circuit RC

Autrefois, les dispositifs de déclenchement des essuie-glaces étaient basés sur des circuits RC. Cet exercice vous propose de s’intéresser à cet usage des circuit RC.

On réalise un circuit RC série branché à une batterie de 12 V. La capacité du condensateur est de 1,0 mF. Aux bornes du condensateur est également branché un circuit telle que, si $*U_C*$ ≥ 6 V, ce circuit déclenche le balayage des essuie-glaces et vide le condensateur (on ne s’intéresse pas à cette partie du circuit dans cet exercice). Le condensateur se remet en charge dès que les essuie-glaces sont revenus à leur position d’origine.

1. Établir l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension $*U_C*$ aux bornes du condensateur.

2. Résoudre cette équation différentielle.

3. Calculer la valeur de la résistance $*R*$ à placer dans le circuit RC pour que le temps d’immobilisation des essuie-glaces soit de 3 secondes ?

Tension UC(t) au cours de la décharge

Si vous avez compris ce qui se passe lors de la charge d’un condensateur dans un circuit RC série, la décharge ne vous posera aucun problème.

Schéma d’un circuit RC série sans générateur

Si les condensateurs est initialement chargé, lorsqu’on ferme l’interrupteur, on a $*U_R + U_C*$ = 0.

Ceci conduit de manière immédiate à l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension $*U_C(t)*$ au cours du temps :

$µ RC·\frac {\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} + U_C = 0 µ$

À partir de là, on procède comme d’habitude : on se ramène d’abord à une forme connue pour trouver la solution de cette équation : $µ \frac{\mathrm{d}U_C}{\mathrm{d}t} + \frac{U_C}{RC} = 0 µ$ d’où la solution : $µ U_C(t) = Ke^{-\frac t{RC}} µ$ Si on note $*U_{C0}*$ la tension initiale aux bornes du condensateur, cette solution s’écrit : $µ U_C(t) = U_{C0}·e^{-\frac t{RC}} µ$

La courbe de décharge ressemble beaucoup à celle de la charge :

Allure de $*U_C(t)*$ au cours de la décharge

Décharge d’un condensateur

Vous avez peut-être remarqué que sur certains appareils, une petite diode reste allumée encore un certain temps (une ou deux secondes) alors même que l’appareil est débranché. Ceci est dû au fait que certains condensateurs sont chargés au moment où l’appareil est débranché. Ceux-ci se déchargent alors dans la diode, la gardant allumé le temps de la décharger.

Je vous propose dans cet exercice d’étudier un peu cette situation.

On réalise un circuit série dans lequel on connecte un diode électro­luminescente (LED), un condensateur et une résistance.

Schéma du circuit étudié

La tension initiale aux bornes du condensateur est de 6,0 V. Sa capacité vaut $*C*$ = 2,0 mF. La résistance à une valeur $*R*$ de 300 Ω.

Lorsqu’elle est passante, la tension aux bornes de la LED vaut 1,1 V quelle que soit l’intensité du courant qui la traverse et sa résistance est négligeable. Ele émet alors de la lumière.Lorsque la tension à ses bornes tombent en dessous de cette valeur (1,1 V), la diode devient bloquante : elle se comporte comme un interrupteur ouvert.

1. En utilisant la loi d’additivité des tensions, trouver la relation entre $*U_C*$, $*U_D*$ et $*U_R*$.

2. Trouver l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension $*U_C*$ au cours du temps lorsque la diode est passante.

3. En déduire combien de temps brillera la diode

4. Le courant dans la diode ne doit jamais excéder 20 mA. Ce circuit électrique met-il en danger la diode ?